已知函数$f(x)=1/2x^2+lnx$.

教育      2022-09-23     

已知函数$f(x)=1/2x^2+lnx$.

关键词:函数 区间

等价于证明g(x)-f(x)>0
h(x)=g(x)-f(x)=2/3x^3-1/2x^2-lnx
h\'(x)=2x^2-x-1/x在(1,+oo)上是增函数(可以根据增函数的定义证明)并且h\'(1)=0
所以h\'(x)>0在区间(1,+oo)上
从而h(x)在区间(1,+oo)上是增函数
而h(1)=2/3-1/2-0=1/6>0
所以h(x)>0在区间(1,+oo)上
即在区间(1,+oo)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=2/3x^3图象的下方
其实你也可以直接用定义证明h(x)为增函数,但是那样在化简时有些麻烦.

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