(2014•上海模拟)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2.

百科      2022-09-12     

(2014•上海模拟)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2.

关键词:函数 区间

解题思路:(I)先求函数的定义域再求函数的导数,当导数大于0时函数单调递增,当导数小于0时单调递减.
(II)此题考查的是函数的零点存在问题.在解答的过程当中要先结合函数f(x)在区间(0,2]内有且只有一个零点的条件,结合(I)中确定函数的增减区间,求出函数的极小值和极大值,再转化出不等关系,利用此不等关系即可获得问题的解答.

(I)函数定义域为x>0,且f′(x)=2x-(a+2)+[a/x]=
(2x−a)(x−1)
x…(2分)
①当a≤0,即[a/2≤0时,令f\'(x)<0,得0<x<1,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),
令f\'(x)>0,得x>1,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
②当0<
a
2<1,即0<a<2时,令f\'(x)>0,得0<x<
a
2]或x>1,
函数f(x)的单调递增区间为(0,
a
2),(1,+∞).
令f\'(x)<0,得[a/2<x<1,函数f(x)的单调递减区间为(
a
2,1).
③当
a
2=1,即a=2时,f\'(x)≥0恒成立,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).…(7分)
(Ⅱ)①当a≤0时,由(Ⅰ)可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),f(x)在(1,2]单调递增.
所以f(x)在(0,2]上的最小值为f(1)=a+1,
由于f(
1
e2)=
1
e4−
2
e2−
a
e2+2=(
1
e2−1)2−
a
e2+1>0,
要使f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,
需满足f(1)=0或

f(1)<0
f(2)<0]解得a=-1或a<-[2/ln2].
②当0<a≤2时,由(Ⅰ)可知,
(ⅰ)当a=2时,函数f(x)在(0,2]上单调递增;
且f(e−4)=
1
e8−
4

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的零点.

考点点评: 此题考查的是利用导数研究函数的单调性,函数的零点存在问题.在解答的过程当中充分体现了等价转化的思想,以及零点定理的相关知识.值得同学们体会反思.

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