已知函数f(x)=4x+12ax(a∈R)是偶函数,g(x)=t•2x+4,

百科      2022-09-11     

已知函数f(x)=4x+12ax(a∈R)是偶函数,g(x)=t•2x+4,

关键词:函数 偶函数

解题思路:(1)由偶函数的定义知f(x)=f(-x),化简即可求得a值;
(2)对f(x)<g(x)进行等价变形可化为关于2 x的二次不等式,解得2 x的范围,进而可得x的范围;
(3)函数f(x)的图象总在g(x)的图象上方,等价于f(x)>g(x)恒成立,分离出t后转化为求函数的最值解决;

(1)由f(x)是偶函数,得f(x)=f(-x),即
4x+1
2ax=
4−x+1
2−ax,
化简得22ax=4x,故a=1;
(2)f(x)<g(x)即
4x+1
2x<−2•2x+4,亦即3•4x-4•2x+1<0,
所以
1
3<2x<1,即log2
1
3<x<0,
所以不等式f(x)<g(x)的解集为x|log2
1
3<x<0;
(3)因为函数f(x)的图象总在g(x)的图象上方,
所以f(x)>g(x),即
4x+1
2x>t•2x+4,得t<
1
4x−
4
2x+1,

1
4x−
4
2x+1=(
1
2x−2)2−3≥−3,∴t<-3;
故实数t的取值范围为:t<-3.

点评:
本题考点: 复合函数的单调性;函数单调性的性质;函数最值的应用.

考点点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性,考查指数不等式的求解及函数恒成立问题,函数恒成立问题往往转化为函数最值解决.

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