已知函数f(x)=2ax+a2−1x2+1,其中a∈R.

百科      2022-09-09     

已知函数f(x)=2ax+a2−1x2+1,其中a∈R.

关键词:导数 函数

解题思路:(Ⅰ)当a=1时,求导函数,确定切点坐标与切线的斜率,即可得到曲线y=f(x)在原点处的切线方程;
(Ⅱ)求导函数可得,分类讨论,利用导数的正负,可得函数的单调区间.

(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
2x
x2+1,f′(x)=−
2(x+1)(x−1)
(x2+1)2.…(2分)
∴f\'(0)=2,
∵f(0)=0,
∴曲线y=f(x)在原点处的切线方程是2x-y=0.…(4分)
(Ⅱ)求导函数可得,f′(x)=−
2(x+a)(ax−1)
(x2+1)2.…(6分)
当a=0时,f′(x)=
2x
(x2+1)2,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减.…(7分)
当a≠0,f′(x)=−2a
(x+a)(x−
1
a)
(x2+1)2.
①当a>0时,令f\'(x)=0,得x1=-a,x2=
1
a,f(x)与f\'(x)的情况如下:

x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f\'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ f(x1) ↗ f(x2) ↘故f(x)的单调减区间是(-∞,-a),(
1
a,+∞);单调增区间是(−a,
1
a).…(10分)
②当a<0时,f(x)与f\'(x)的情况如下:

x (-∞,x2) x2 (x2,x1) x1 (x1,+∞)
f\'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ f(x2) ↘ f(x1) ↗所以f(x)的单调增区间是(−∞,
1
a),(-a,+∞);单调减区间是(
1
a,−a),(-a,+∞).…(13分)
综上,a>0时,f(x)在(-∞,-a),(
1
a,+∞)单调递减;在(−a,
1
a)单调递增.a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;a<0时,f(x)在(−∞,
1
a),(-a,+∞)单调递增;在(
1
a,−a)单调递减.

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.

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